마그네슘 합금 판재 번역(한국어 원본)3. Constitutive model 마그네슘 합금 판재의 온도와 pre-strain변화에 따른 인장-압축 거동의 특이 거동을 표현하기 위해 인장-압축-인장의 변형 모드를 Slip/Twin/Untwin의 3가지 변형 모드로 구분하여 각각 다른 경화식 및 항복 조건식을 적용하였다. 경화 모델의 경우 twin과 untwin의 변형 모드에서 나타나는 S자 형태의 곡선을 형상학적인 접근 방식을 통해 수식화 하였고 이때 온도와 pre-strain 영향성을 고려하기 위해 각각의 경화 파라미터들은 온도와 pre-strain의 함수로 설정하여 온도 및 pre-strain의 변화에 따라 변수 값이 변화하도록 설정하였다. 또한 twin과 untwin의 천이 온도인 150°C 이상의 온도 구간에서는 slip 변형이 지배적이기 때문에 이 경우 인장-압축-인장 또는 압축-인장-압축의 거동을 모두 slip 변형 모드로 적용하였다.
항복조건식의 경우 Von-Mises 항복조건식을 사용하였고, 각 변형 모드 별 초기 항복곡면의 크기를 다르게 적용하여 인장-압축 시 항복응력이 다르게 나타나는 바우싱거 효과를 표현하였다. Von-Mises 항복조건식의 경우 등방성 항복조건식의 특성상 이방성에 대한 고려가 불가능하다. 하지만 제안된 구성모델은 경화 거동을 형상학적으로 표현하기 위해 3가지 변형 모드에 대해 서로 다른 경화식을 적용하기 때문에 사용하고자 하는 항복조건식에 따라 유동적으로 적용할 수 있다. 본 연구의 예제에 적용된 모델은 Von-Mises 항복 조건식을 사용하였으나 전체적인 구성모델은 이방성 항복조건식들(Hill48, Cazacu, Drucker-Prager)에 대한 모델링이 완료된 상태이다.
3.1. Slip mode
마그네슘 합금 판재의 순수 인장 거동은 slip에 의한 변형이 지배적이다. Slip변형 모드에서 사용된 경화식은 복합 경화 모델인 Chaboche을 사용하였으며 적용된 식은 아래와 같다. 여기서 Eq.1에서 는 순수 인장의 초기 항복응력을 나타내는 변수이다. 인장 항복응력은 Fig.12와 같이 온도에 따라 변하기 때문에 를 온도의 함수로 설정 하여 온도변화에 따라 초기 항복응력의 크기의 변화가 가능하도록 적용하였다. Eq.2, 3은 Fig.13과 같이 적용되어 순수 인장의 경화 곡선을 표현하였다. 각 식에 사용된 파라미터들( , , , )은 모두 온도 변화에 따라 그 값이 변화하도록 적용하였다.
온도 변화에 따른 항복응력의 차이는 Fig.12에서 나타나듯이 100°C 이하의 온도에서는 항복응력의 차이가 크게 나타나지 않지만 100°C이상의 온도에서는 항복응력의 크기가 균일하게 감소하는 것을 확인 할 수 있다. 이러한 현상을 적용하기 위해 온도 구간을 100°C 기준으로 2구간으로 나누어서 각각 다른 Fitting식을 적용하였다. 3.2. Twin mode
마그네슘 합금 판재의 압축 거동은 twin에 의한 변형이 지배적이다. 압축 거동의 경우 twin 모드에 의한 변형 거동으로 아래로 볼록한 곡선 패턴을 보이지만 변형이 지속되면 slip에 의한 변형이 나타나면서 이때 응력이 급격하게 상승하는 구간이 발생한다. 이러한 특이 거동을 표현하기 위해서 slip 모드에서 사용한 경화식에 추가적으로 Sigmoid 함수를 적용하여 다음과 같이 표현하였다.
여기서 Eq.5의 는 twin 모드의 초기 항복응력을 나타내는 식으로 twin 모드의 항복응력의 경우 온도와 pre-strain의 변화에 영향을 받기 때문에 온도의 변화를 고려한 와 pre-strain의 변화를 고려한 2가지 함수로 구성하였다(Fig.14,15). Eq5,6,7,8의 모든 변수는 온도 및 pre-strain에 따라 변화하도록 구성하였다. Twin 모드 에서는 기준 온도150°C를 기점으로 twin-slip 의 천이가 발생하기 때문에 150°C이상의 온도에서는 Twin 모드의 특이 거동을 표현하는 Eq.8의 를 비활성화 시켜서 slip 모드를 표현 하였다. 3.3. Untwin mode
마그네슘 합금 판재의 압축 후 인장 거동은 untwin에 의한 변형이 지배적이다. 변형 초기 untwin의 영향으로 아래로 볼록한 패턴을 보이다가 변형이 지속되면 slip변형이 나타나면서 응력이 급격하게 상승하게 되어 S자 형태의 곡선 패턴을 보인다. 이러한 특이 거동을 표현하기 위해 twin 모드에서 사용한 Sigmoid 함수를 이용하여 다음과 같이 untwin 모드를 표현하였다. Untwin모드는 twin 모드와 동일하게 기준온도 150°C 구간에서 untwin-slip 천이가 발생하기 때문에 Eq.14 의 를 Eq.15와 같이 정의하여 150°C이상의 온도에서는 Slip 모드에 의한 변형을 적용하였다.
또한 untwin 모드는 twin 모드와는 다르게 pre-strain변화에 따라 경화 곡선의 패턴이 변하기 때문에 Eq.14의 와 의 변수가 중요한 역할을 한다. Fig.20의 그래프와 같이 는 S자 곡선의 크기를 나타내고 는 변곡점의 위치를 조절한다. 따라서 변수 와 을 pre-strain에 따라 변화가 가능하도록 적용하여 pre-strain에 따른 경화 곡선 패턴의 변화를 표현하였다. |
마그네슘 합금 판재 번역(영어 번역본)3. Constitutive model In order to express a specific behavior of tension-compression behavior according to the temperature of Mg allow sheet and the change of pre-strain, tension-compression-tension deformation mode was divided into three deformation modes with application of different hardening equations and yield condition equations. For a hardening model, an S-shaped curve shown in twin and untwin deformation mode was formulated by a morphological approach and each of the hardening parameters were set to the function between temperature and pre-strain so that parameter values may be changed as temperature and pre-strain are changed. Furthermore, as a slip deformation is dominant in a temperature section over 150°C, a transition temperature between twin and untwin, both behaviors of tension-compression-tension or compression-tension-compression were applied in a slip deformation mode.
The Von-Mises yield condition equation was adopted as a yield condition equation, and the Bauschinger effect which refers to a property of materials where material’s yield stress changes upon tension-compression was expressed by applying different size of initial yield curved surface by deformation mode. For the Von-Mises yield condition equation, consideration for anisotropy is not possible on the nature of isotropic yield condition equation. Since the proposed constitutive model, however, applies different hardening equations for three deformation modes to express hardening behavior morphologically, flexible application of the model is available depending upon the yield condition equation to be used. Although the Von-Mises yield condition equation was used in the examples of the present study, the overall constitutive models have been completed modeling for anisotropic yield condition equations (Hill48, Cazacu, Drucker-Prager).
3.1. Slip mode
Deformation by slip is dominant in pure tension behavior of Mg alloy sheet. Chaboche, a complex hardening model, was used for slip deformation mode with application of the following equation. In Eq.1, is a variable indicating the initial yield stress of pure tension. Since tension yield stress varies as temperature as shown in Fig.12, was set as the function of temperature and applied so that the magnitude of initial yield stress varies as temperature. Eq. 2 and 3 are applied as Fig.13 and express hardening curves of pure tension. All of the parameters ( , , , ) used in each of the equations vary as temperature.
The temperature dependent variability of yield stress, as shown in Fig.12, was not large at the temperature less than 100°C. However, it was found that the magnitude of yield stress was decreased uniformly at the temperature over 100°C. To apply this phenomenon, the temperature section was divided into two subsections at reference temperature of 100°C and different fitting equations were applied. 3.2. Twin mode
Deformation by twin is dominant in the compressive behavior of Mg alloy sheets. For compressive behavior, there is a convex-downward curve due to deformation behavior by twin mode, but if deformation continues, deformation by slip appears with a section of a sudden increasing stress. To express this specific behavior, A Sigmoid function was applied to the hardening equation used in slip mode and expressed as follows.
In Eq.5, is the initial yield stress of twin mode, and since the yield stress of twin mode is subject to the changes of temperature of pre-strain, two functions were constructed; one is which considers the change of temperature and the other is which considers the change of pre-strain (Fig.14,15). All the parameters of Eq. 5, 6, 7, and 8 were constructed to vary as temperature and pre-strain. Since the transition of twin-slip occurs at reference temperature of 150°C, at the temperature over 150°C, of Eq.8, a specific behavior of twin mode, was inactivated to express slip mode. 3.3. Untwin mode
Deformation by untwin is dominant in the tension behavior after compression of Mg alloy sheets. First, a convex-downward pattern appears due to the effect of untwin in the initial deformation; if the deformation continues, slip deformation appears with a sudden increase of stress and an S-shaped curved pattern is observed. In order to express a specific behavior like this, the Sigmoid function used in twin mode was used to express untwin mode as follows. Since untwin mode has untwin-slip transition at reference temperature of 150°C as same as twin mode, of Eq.14 was defined as Eq.15 and deformation by slip mode was applied for the temperature above 150°C.
In addition, unlike twin mode, untwin mode has pre-strain dependent hardening curve pattern, the variables of and of Eq.14 play an important role. As shown in the graph of Fig.20, indicates the magnitude of an S-shaped curve and controls the position of an inflection point. Then the variability of hardening curve pattern for pre-strain was expressed with the variables and applied to be varied as pre-strain. |
